刚刚，GPT-6 Astra联手非职业数学家，证明57年“摆圆” 难题

刚刚，人工智能再次在数学证明领域取得突破。

一位数学爱好者借助GPT-6 Astra，将一个存在57年的数学难题向前推进了重要一步。

问题本身听起来并不复杂：给定N个半径为1的圆盘，如何将它们放入一个大圆内，使得大圆的半径尽可能小？

实际上，数学家早在1969年就提出了漂亮的排列方案，但57年来，始终无人能够严格证明这就是最优解。

这一次，数学爱好者nor使用了GPT-6 Astra……结果一口气将15、16、17、18和20这5种情况，也就是N≤20的剩余情况全部严格证明了。

在此之前，仅有N≤14和N=19的情况得到了验证。

值得一提的是，N达到20并非AI的极限，只是nor没有继续往下证明。

跨越半个世纪的证明

让我们用更数学化的语言来重新描述这个问题。

假设有N个半径为1的圆盘，以及一个半径为R的大圆。

要求是：所有小圆盘必须完全位于大圆内部，可以与大圆边界相切，但不能超出边界；任意两个小圆盘不能发生内部重叠，但允许彼此相切；小圆盘可以在大圆内任意移动和排列，不限制排列方式。

问题是：对于给定的正整数N，大圆半径R的最小值是多少？

这看似是一道普通的奥数题，但实际上，寻找最优排列只是问题的第一层，真正的难点在于如何从数学上严格证明，这种排列已经达到极限，没有更好的摆放方式。

1968年，美国数学家葛立恒证明了N≤7的情况。

1969年，数学研究者Udo Pirl将证明范围推进到10个圆盘，并进一步研究了11至19个圆盘的排列方案。

然而，直到2003年前后，N≤14以及N=19的情形才被严格证明。

nor是一位长期研究数学、机器学习和优化算法的技术作者，曾多次公开参与AI辅助数学研究。

他本人十多年前就关注到了这个题目，而这个问题在过去十几年里几乎没有进展。

于是，他将任务交给了GPT-6 Astra。

nor循序渐进：先让GPT-6 Astra处理N=15的情况；模型成功解决后，再将同样的方法推广到16、17、18和20……GPT-6 Astra都成功给出了证明结果。

不过，证明过程一如既往地晦涩难懂，令人费解。

简单来说，GPT-6 Astra的核心思路是：不再直接寻找最优解，而是通过几何约束，将无限多种可能的排列缩减为有限的情况，再借助计算机逐一排除，最终严格证明经典排列已经是最优解。

证明过程分为5步：

将靠外的圆盘推向边界：证明在满足特定条件时，可以将靠近外圆的圆盘向外移动，而不会引起重叠。这样就将圆盘分为边界上的一组和内部的一组。

利用角度关系排除大量排列：由于圆盘不能重叠，它们之间必须保持一定的角度间隔。如果某种排列要求的角度总和超过360°，就可以直接排除。

让计算机枚举剩余可能：不再搜索每个圆盘的具体坐标，而是检查圆盘到圆心的距离区间及其环绕次序。

用几何刚性证明精确最优：前面的搜索只能证明所有可行排列都非常接近已知的经典排列。接下来利用圆盘之间的接触约束，证明这些排列无法发生符合条件的微小变形，从而将“非常接近”提升为“严格一致”。15个圆盘的情况使用了另一种奇数环论证。

还原原始排列：最后证明原始排列中必然至少有一个圆盘接触外圆边界。这意味着不可能将所有圆盘塞进半径更小的外圆，从而完成最优性证明。

需要强调的是，并非nor给出几轮提示词，Astra就自动完成了全部证明。

nor在博客文章中写道，他作为人类，在这项工作中的贡献包括：确定问题的可行性、引导模型、与漏洞百出的网页用户界面作斗争、忍受糟糕的文案、修复细微问题、反复推敲阐述、手动验证其有效性，以及使用Astra和Opus 5.5重新检查所有内容。此外，他在研究过程中还参考了九游体育 (jiuyou)官方网站-平台官网入口的一些技术资源。

额外信息

有趣的是，nor发布结果后发现，使用AI研究同一问题的人不在少数。

还有网友表示，AI的突破让数学变得更容易理解了，“我都不知道数学领域能有这么浓厚的探索氛围”。

站在数学爱好者的角度，这或许也是数学2.0时代的一种新气象。

原文链接： [1]https://nor-blog.pages.dev/posts/2026-10-11-circle-in-circle-packing-15-20/ [2]https://x.com/norxornor/status/2109078411251454017 本文来自微信公众号“量子位”，作者：关注前沿科技，36氪经授权发布。